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mais encore que les différences premières et secondes de cette équation aient lieu par rapport à la même courbe, c’est-à-dire en supposant que les valeurs de $x,y$ et de leurs différences soient les mêmes pour le cercle et pour la courbe. Alors $r$ deviendra le rayon du cercle osculateur de la courbe proposée au point qui répond aux coordonnées $x,y\,;$ et $p,q$ seront les coordonnées qui déterminent le lieu du centre de cercle ; ce seront par conséquent les coordonnées de la développée de la même courbe.

On aura donc ces trois équations

${\begin{aligned}&(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},\\&x-p+(y-q){\frac {dy}{dx}}=0,\\&1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+(y-q){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0,\end{aligned}}$

au moyen desquelles on déterminera $p,q,r$ en $x,y,$ et ses différences ; et l’on trouvera successivement

$q=y+{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}},\ \ p=x-{\frac {1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\frac {dy}{dx}},\ \ r={\frac {\left[1+\left({\cfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}{\cfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}.$

Ces valeurs sont les mêmes que celles que l’on trouve par d’autres voies ; mais la méthode précédente est plus appropriée au but de ces recherches.

2. On voit par les expressions précédentes de $p$ et $q$ que le Problème de trouver la développée d’une courbe se résout par le seul Calcul différentiel, et demande une double différentiation de l’équation de la courbe proposée ; d’où il s’ensuit que lorsque cette courbe est algébrique, sa développée ne saurait manquer de l’être aussi ; c’est ce qui est connu depuis longtemps.

Réciproquement donc il paraît naturel d’en conclure que lorsque la développée est donnée et qu’on demande la courbe qui résulterait de son