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de former une exception à la Théorie générale du Calcul intégrale, elles sont une conséquence immédiate et naturelle des premiers principes de ce Calcul. C’est ce que je crois avoir démontré et développé avec tout le détail nécessaire dans mon Ouvrage sur les intégrales particulières, imprimé parmi les Mémoires de l’année 1774^[1].

Je vais maintenant appliquer la Théorie des intégrales particulières à la solution de différentes questions d’Analyse qui n’avaient pas encore été traitées, ou du moins qui ne l’avaient pas été sous le point de vue sous lequel on les considère dans ce Mémoire. Cette application donnera en même temps le dénoûment de quelques paradoxes qui se présentent naturellement dans la solution de ces mêmes questions, et servira de plus en plus à montrer l’utilité et la nécessité de la Théorie dont il s’agit dans le Calcul intégral.

Article I^er. — Sur les développées.

1. On sait que la développée d’une courbe est le lieu des centres de tous les cercles osculateurs de cette courbe ; on sait aussi que le cercle osculateur est celui qui coupe la courbe proposée dans trois points intiniment proches. Or soient $x$ l’abscisse, $y$ l’ordonnée rectangle, et $p,q,r$ des constantes ; on a pour l’équation générale au cercle

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

dans laquelle $r$ est le rayon, et $p,q$ sont l’abscisse et l’ordonnée qui déterminent la position du centre.

Soit maintenant une courbe quelconque rapportée aux mêmes coordonnées $x,y,$ et qui ait pour cercle osculateur celui dont nous venons de donner l’équation ; comme ce cercle doit couper la courbe dont il s’agit dans trois points infiniment prochès, il faudra que non-seulement l’équation

$(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 5.