Si l’on substitue dans la première la valeur de 
tirée de la seconde, elle deviendra
d’où
et, à cause de 
![{\displaystyle dr=dp{\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4738291d08d15b17c44d60765f53b92f6ae8e13f)
d’où l’on tirera par l’intégration 
en 
Cette même valeur de 
étant substituée dans la seconde équation ci-dessus, elle deviendra
![{\displaystyle \left[r+(x-p){\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}\right]dp=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f9bf4bbef25ead0b372f811763d473c06ff6e3a)
laquelle donne, ou 
et par conséquent 
égal à une constante arbitraire, auquel cas on aura immédiatement l’équation finie
où 
et sera une autre constante arbitraire (12). Ou bien l’équation précédente donnera
![{\displaystyle r+(x-p){\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90352b6aa010d340e2d89eb3efe6210dcaf784a0)
d’où l’on tirera en 
ou 
en à cause que est déjà déterminé en par l’équation
![{\displaystyle dr={\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}dp.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc01dadab4f5379c70600e5a53df1db7a26315a0)
On aura ainsi :
![{\displaystyle x=p-{\frac {r}{\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d0a86ec975aec9a63a0075ab0ff2ffc6160223)
et, substituant cette valeur dans l’expression de 
ci-dessus, on aura
![{\displaystyle y=\varphi (p)-{\frac {r}{\sqrt {1+\left[\varphi '(p)\right]^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515a2cb79ec54bbce73fc23c4bfaa0d28a65bb88)
