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On trouvera ainsi

$q=-{\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{d{\cfrac {dy}{dx}}}},\quad p=-{\frac {du}{dx}}+{\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{d{\cfrac {dy}{dx}}}}{\frac {dy}{dx}},$

$r=u-x{\frac {du}{dx}}+{\frac {d{\cfrac {du}{dx}}}{d{\cfrac {dy}{dx}}}}\left(x{\frac {dy}{dx}}-y\right).$

Si la position du foyer de l’ellipse osculatrice n’était pas donnée, nommant $m,n$ l’abscisse et l’ordonnée qui répondent à ce foyer, on aura alors pour l’équation générale de l’ellipse

$u+p(x-m)+q(y-n)=r,$

dans laquelle

$u={\sqrt {(x-m)^{2}+(y-n)^{2}}},$

la signification des autres quantités $p,q,r$ demeurant la même qu’auparavant.

Comme cette équation renferme cinq constantes arbitraires, il s’ensuit que l’ellipse dont il s’agit pourra avoir un contact du quatrième ordre avec une autre courbe quelconque, et pour cela on déterminera les cinq éléments de ce contact $p,q,r,m,n$ au moyen des cinq équations

$\mathrm {V} =0,\quad d\mathrm {V} =0,\quad d^{2}\mathrm {V} =0,\quad d^{3}\mathrm {V} =0,\quad d^{4}\mathrm {V} =0,$

en faisant

$V=u+p(x-m)+q(y-n)-r.$

4. Imaginons maintenant qu’il y ait une relation donnée entre les éléments du contact $p,q,r,\ldots$ et qu’on demande la courbe touchée dans laquelle cette relation aura lieu. Il n’y aura pour cela qu’à substituer dans l’équation donnée entre $p,q,r,\ldots$ les valeurs de ces quantités exprimées en $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots$ (2).

On aura ainsi, si le contact est du premier ordre, une équation différentielle du premier ordre entre les coordonnées $x$ et $y$ de la courbe