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cherchée ; si le contact est du second ordre, on aura une équation différentielle du second ordre entre les mêmes coordonnées ; et ainsi de suite. Il ne s’agira donc plus que d’intégrer ces différentes équations, et pour cela je remarquerai d’abord qu’on peut supposer que les quantités $p,q,r,\ldots$ soient constantes ; car, comme l’équation donnée entre ces quantités est supposée ne renfermer que ces mêmes quantités sans les variables $x,y,$ il est visible que cette équation pourra toujours subsister dans l’hypothèse que les quantités dont il s’agit soient constantes ; et l’effet de cette équation consistera alors à déterminer une de ces constantes par toutes les autres, lesquelles demeureront par conséquent arbitraires. Ainsi le nombre des constantes arbitraires sera égal à celui des éléments du contact moins un, et par conséquent égal à l’exposant de l’ordre de ce contact (2) ; donc ce nombre sera aussi égal à celui de l’exposant de l’ordre de l’équation différéntielle qu’il s’agit d’intégrer (3).

Cela posé, puisque les expressions des quantités $p,q,r,\ldots$ en $x,y,{\frac {dy}{dx}},\ldots$ ont été déduites de l’équation $\mathrm {V} =0$ et de ses différentielles $d\mathrm {V} =0,d^{2}\mathrm {V} =0,\ldots ,$ en y regardant ces quantités comme constantes (2), il est visible que la même équation finie $\mathrm {V} =0$ satisfera, dans l’hypothèse présente, à l’équation différentielle proposée ; et comme parmi les constantes $p,q,r,\ldots ,$ que l’équation $\mathrm {V} =0$ renferme, il en reste toujours autant d’arbitraires qu’il y a d’unités dans l’exposant de l’ordre de l’équation différentielle dont il s’agit, il s’ensuit que cette équation $\mathrm {V} =0$ sera l’intégrale finie et complète de la même équation différentielle. Or l’équation $\mathrm {V} =0$ est celle de la courbe touchante ; donc l’intégrale complète de l’équation différentielle proposée ne donnera jamais autre chose que la même courbe touchante que l’on connaissait déjà, et ne donnera nullement la courbe touchée qu’il s’agit de trouver. Cependant il est facile de se convaincre que l’équation différentielle en question appartient également à la courbe touchée ; donc, puisque cette courbe n’est pas renfermée dans l’intégrale complète de la même équation, il faudra nécessairement qu’elle le soit dans une intégrale particulière. C’est ce que nous allons examiner.