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et $c$ des fonctions quelconques de $a\,;$ ensuite il n’y aura plus qu’à chasser $a$ des deux équations

$z=a+bx,\quad y=c+ex,$

et la résultante sera l’équation de la surface cherchée, laquelle contiendra deux fonctions arbitraires comme celle du n^o 1.

4. Si l’on fait

${\frac {da}{dc}}=\alpha ,$

on aura aussi

${\frac {db}{de}}=\alpha \,;$

si l’on suppose de plus

$c={\frac {d\beta }{d\alpha }},\quad e={\frac {d\gamma }{d\alpha }},$

$\beta$ et $\gamma$ étant des fonctions quelconques de $\alpha ,$ on aura

$da=\alpha d{\frac {d\beta }{d\alpha }},\quad db=\alpha d{\frac {d\gamma }{d\alpha }},$

et, intégrant,

$a=\alpha {\frac {d\beta }{d\alpha }}-\beta ,\quad b=\alpha {\frac {d\gamma }{d\alpha }}-\gamma$

Ainsi l’on aura la surface cherchée en éliminant $\alpha$ des deux équations

$z=\alpha {\frac {d\beta }{d\alpha }}-\beta +\left(\alpha {\frac {d\gamma }{d\alpha }}-\gamma \right)x,\quad y={\frac {d\beta }{d\alpha }}+{\frac {d\gamma }{d\alpha }}x,$

ou bien

$z=-\beta -\gamma x+\alpha y,\quad x-{\frac {d\alpha }{d\gamma }}y+{\frac {d\beta }{d\gamma }}=0.$

Or ces dernières équations sont de la même forme que celles qu’on a trouvées dans le n^o 1 ; ainsi les deux solutions sont d’accord.

Le résultat de la seconde solution est conforme à celui que M. Euler a trouvé par des considérations géométriques dans le tome XVI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourb, page 32, ce qui peut servir à confirmer la bonté de notre méthode.