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5. Il est bon de remarquer que les deux équations

$da+db=0,\quad dc+xde=0,$

d’où on a déduit la condition ${\frac {db}{da}}={\frac {de}{dc}},$ donnent de plus une valeur de

$x=-{\frac {da}{db}}\,;$

cette valeur servira à déterminer le lieu de tous les points d’intersection des lignes droites sur la surface et pour cela il n’y aura qu’à combiner l’équation

$x=-{\frac {da}{db}}$

avec une des deux équations

$z=a+bx,\quad y=c+ex,$

en éliminant $a\,;$ la résultante sera celle de la projection de la courbe qui sera le lieu de tous les points dont il s’agit.

6. Il est facile maintenant de généraliser cette Théorie, et de l’appliquer à la recherche des surfaces composées de lignes quelconques d’une nature donnée.

Soient

$\mathrm {P} =0,\quad \mathrm {Q} =0$

les deux équations qui expriment la nature des lignes dont la surface cherchée doit être composée, $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ étant des fonctions données des coordonnées $x,y,z$ et des constantes $a,b,c,\ldots$ qui déterminent la position et l’espèce des lignes dont il s’agit. On fera varier ces constantes dans les deux équations

$\mathrm {P} =0,\quad \mathrm {Q} =0,$

ce qui donnera ces deux-ci

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {P} }{db}}db+{\frac {d\mathrm {P} }{dc}}\,dc+\ldots =0,\\{\frac {d\mathrm {Q} }{da}}da+{\frac {d\mathrm {Q} }{db}}db+{\frac {d\mathrm {Q} }{dc}}dc+\ldots =0.\end{aligned}}$

On éliminera au moyen de ces quatre équations les trois coordonnées $x,$