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$y,t,\ldots ,z.$ Ces valeurs étant ainsi trouvées, il n’y aura qu’à les substituer dans l’équation

$\alpha =\varphi (\beta ,\gamma ,\ldots ),$

la caractéristique $\varphi$ dénotant une fonction arbitraire et indéterminée, et l’on aura l’intégrale cherchée de l’équation proposée ; laquelle intégrales sera complète, puisqu’elle contient une fonction arbitraire.

2. Par cette méthode on peut donc intégrer, en général, toute équation aux différences partielles du premier ordre dans laquelle ces différences ne paraissent que sous la forme linéaire, quel que soit d’ailleurs le nombre des variables ; du moins l’intégration de ces sortes d’équations est ramenée à celle de quelques équations aux différences ordinaires ; mais on sait que l’art du Calcul intégral aux différences partielles ne consiste qu’à ramener ce Calcul à celui des différences ordinaires, et qu’on regarde une équation aux différences partielles comme intégré lorsque son intégrale ne dépend plus que de celle d’une ou de plusieurs équations différentielles ordinaires.

Quant à la démonstration de la méthode précédente, on peut la déduire des mêmes principes du numéro cité, et nous ne nous y arrêterons pas ; mais, pour ne laisser aucun doute sur la bonté de cette métlode, nous allons faire voir synthétiquement la justesse du résultat qu’elle donne.

3. Ne considérons, pour plus de simplicité, que l’équation entre trois variables

${\frac {dz}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}=\mathrm {Z} \,;$

on aura intégrer ces deux équations entre $x,y,z$

$dy-\mathrm {P} dx=0,\quad dz-\mathrm {Z} dx=0,$

dont les intégrales contiendront deux constantes arbitraires $\alpha ,\beta \,;$ regardant donc $\alpha$ et $\beta$ comme des fonctions de $x,y,z$ données par ces deux