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équations, on aura, pour l’intégrale de l’équation proposée, celle-ci

$\alpha =\varphi (\beta ),$

$\varphi$ dénotant une fonction arbitraire.

Pour s’assurer maintenant si cette équation $\alpha =\varphi (\beta )$ est en effet l’intégrale de la proposée, il n’y a qu’à faire disparaître la fonction arbitraire au moyen de deux différentiationspartielles. On aura ainsi, en faisant varier successivement $x$ et $y,$

${\frac {d\alpha }{dx}}=\varphi '(\beta ){\frac {d\beta }{dx}},\quad {\frac {d\alpha }{dy}}=\varphi '(\beta ){\frac {d\beta }{dy}},$

d’où, en éliminant $\varphi '(\beta ),$ on tire

${\frac {d\alpha }{dx}}{\frac {d\beta }{dy}}-{\frac {d\alpha }{dy}}{\frac {d\beta }{dx}}=0.$

Or, $\alpha$ et $\beta$ étant des fonctions de $x,y,z,$ on aura en différentiant

$d\alpha =\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dz,\quad d\beta =\mathrm {E} dx+\mathrm {F} dy+\mathrm {G} dz,$

d’où, en regardant $z$ comme fonction de $x$ et $y,$ on tire

${\begin{alignedat}{2}{\frac {d\alpha }{dx}}=&\mathrm {A+C} {\frac {dz}{dx}},\qquad &{\frac {d\alpha }{dy}}=&\mathrm {B+C} {\frac {dz}{dy}},\\{\frac {d\beta }{dx}}=&\mathrm {E+G} {\frac {dz}{dx}},&{\frac {d\beta }{dy}}=&\mathrm {F+G} {\frac {dz}{dy}}.\end{alignedat}}$

Substituant ces valeurs dans l’équation précédente, on aura

$\left(\mathrm {A+C} {\frac {dz}{dx}}\right)\left(\mathrm {F+G} {\frac {dz}{dy}}\right)-\left(\mathrm {B+C} {\frac {dz}{dy}}\right)\left(\mathrm {E+G} {\frac {dz}{dx}}\right)=0.$

laquelle se réduit à

$\mathrm {(AF-BE)+(CF-BG)} {\frac {dz}{dx}}+\mathrm {(AG-CE)} {\frac {dz}{dy}}=0.$

Je considère maintenant que, puisque $\alpha$ et $\beta$ sont les constantes arbitraires des intégrales des deux équations

$dy-\mathrm {P} dx=0,\quad dz-\mathrm {Z} dx=0,$