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il faut que ces équations soient identiques avec celles qui résultent de la supposition de

$d\alpha =0,\quad d\beta =0,$

c’est-à-dire avec celles-ci

$\mathrm {A} dx+\mathrm {B} dy+\mathrm {C} dz=0,\quad \mathrm {E} dx+\mathrm {F} dy+\mathrm {G} dz=0\,;$

donc il faudra qu’en substituant dans ces dernières les valeurs de $dy$ et de $dz$ tirées des premières, savoir $\mathrm {P} dx$ et $\mathrm {Z} dx,$ on ait des équations identiques, lesquelles seront, en divisant par $dx,$

$\mathrm {A+BP+CZ=0,\quad E+FP+GZ} =0\,;$

ces équations donnent

$\mathrm {A=-BP-CZ,\quad E=-FP-GZ} ,$

donc

$\mathrm {AF-BE=-(CF-BG)Z,\quad AG-CE=-(BG-CF)P} \,;$

ces valeurs étant substituées dans l’équation ci-dessus, elle devient, en divisant par $\mathrm {CF-BG}$ qui en multiplie tous les termes,

$-\mathrm {Z} +{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {P} {\frac {dz}{dy}}=0,$

qui est l’équation proposée.

4. Pour donner un exemple de la méthode précédente, soit proposée l’équation entre quatre variables

$(y+t+z){\frac {dz}{dx}}+(x+t+z){\frac {dz}{dy}}+(x+y+z){\frac {dz}{dt}}=x+y+t\,;$

on aura donc à intégrer ces trois équations particulières

${\begin{aligned}dy-\,{\frac {x+t+z}{y+t+z}}dx=&0,\\dt-{\frac {x+y+z}{y+t+z}}dx=&0,\\dz-{\frac {x+y+t}{y+t+z}}dx=&0\,;\end{aligned}}$