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$(p$ et $q$ étant des fonctions finies et données de $x,y,z),$ et appartiendra en cet état à toutes les surfaces à couper.

Maintenant, comme dans les points d’intersection des surfaces les coordonnées doivent être les mêmes, on aura aussi dans ces points $x,y,z$ pour les coordonnées des surfaces coupantes ; et si l’on représente, en général par

$dz=rdx+sdy$

l’équation différentielle de chacune de ces surfaces, il n’est pas difficile de trouver par les méthodes connues que la condition du Problème, laquelle consiste en ce que les perpendiculaires aux deux surfaces représentées par les équations

$dz=pdx+qdy,\quad dz=rdx+sdy$

fassent entre elles un angle droit, il n’est pas difficile, dis-je, de trouver que cette condition donnera l’équation

$1+pr+qs=0\,;$

mais

$r={\frac {dz}{dx}},\quad s={\frac {dz}{dy}},$

par conséquent l’équation à résoudre ou à intégrer sera

$1+p{\frac {dz}{dx}}+q{\frac {dz}{dy}}=0,$

$p$ et $q$ étant des fonctions données de $x,y,z.$

Cette équation est, comme on voit, intégrable par notre méthode, et la difficulté se réduira à intégrer ces deux équations particulières en $x,y,z,$ savoir

$dy-{\frac {q}{p}}dx=0,\quad dz+{\frac {dx}{p}}=0,$

ou bien

$dx+pdz=0,\quad dy+qdz=0.$

Ces équations étant intégrées, et $\alpha ,\beta$ étant les deux constantes arbitraires, on fera

$\alpha =\varphi (\beta ),$