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et il n’y aura plus qu’à éliminer $\alpha$ et $\beta$ au moyen des intégrales trouvées ; l’équation résultante sera celle de toutes les surfaces coupantes.

6. Supposons, par exemple, que les surfaces à couper soient sphériques, et qu’elles soient placées de manière qu’elles passent toutes par un même point, et que leurs centres soient placés sur une même ligne droite. Prenant ce point et cette ligne, l’un pour l’origine des coordonnées et l’autre pour l’axe des abscisses $x,$ et le rayon de la sphère pour le paramètre $a,$ on aura cette équation générale pour toutes les surfaces dont il s’agit

$2ax=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,;$

laquelle, étant divisée par $x$ et ensuite différentiée pour faire disparaître le paramètre $a,$ donnera

$\left(x^{2}-y^{2}-z^{2}\right)dx+2xydy+2xzdz=0\,;$

en sorte qu’on aura

$p={\frac {y^{2}+z^{2}-x^{2}}{2xz}},\quad q=-{\frac {y}{z}}.$

Les équations particulières à intégrer seront donc

$dx+{\frac {y^{2}+z^{2}-x^{2}}{2xz}}dz=0,\quad dy-{\frac {y}{z}}dz=0\,;$

la seconde donne d’abord

$y=\alpha z,$

et, cette valeur étant substituée dans la première, on aura

$2xdx+{\frac {\left(\alpha ^{2}+1\right)z^{2}-x^{2}}{z}}dz=0,$

équation intégrale, étant divisée par $z,$ et dont l’intégrale sera

${\frac {x^{2}}{z}}+\left(\alpha ^{2}+1\right)z=\beta .$

Avant donc trouvé

$\alpha ={\frac {y}{z}},\quad \beta ={\frac {x^{2}}{z}}+\left(\alpha ^{2}+1\right)z={\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{z}},$