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savoir

${\frac {1}{r}}=-{\frac {d{\cfrac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}{dt}},\quad {\frac {1}{\rho }}=-{\frac {d{\cfrac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}}{du}}.$

Or nous avons trouvé plus haut (4) que

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}=f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)\,;$

donc, substituant cette valeur et faisant pour plus de simplicité

$\Omega ={\frac {1}{\sqrt {f'\left(u+t{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {F} '\left(u-t{\sqrt {-1}}\right)}}},$

on aura ces expressions fort simples

${\frac {1}{r}}=-{\frac {d\Omega }{dt}},\quad {\frac {1}{\rho }}={\frac {d\Omega }{du}}.$

8. Cette quantité $\Omega$ sert aussi à déterminer la valeur de $m\,;$ car il est visible qu’on aura (4)

$m={\frac {1}{q\Omega }}.$

Or, comme $q$ est une fonction de l’arc $s$ du méridien donnée par la figure de ce méridien et que

$du={\frac {ds}{q}},$

il s’ensuit qu’on peut aussi regarder $q$ comme une fonction de $u$.

Donc, si l’on voulait que la quantité $m$ fût constante ou qu’elle fût une fonction quelconque de $u$ seul, c’est-à-dire qu’elle demeurât la même dans tous les points d’un même parallèle, il faudrait que $\Omega$ fût une fonction de $u$ seul sans $t\,;$ par conséquent il faudrait que ${\frac {d\Omega }{dt}}=0\,;$ donc on aurait par le numéro précédent ${\frac {1}{r}}=0,$ savoir $r=\infty \,;$ par conséquent il faudrait que tous les méridiens de la Carte fussent des lignes droites. Mais nous verrons plus bas que la condition de $\Omega ={\frac {1}{mq}},$ dans l’hypothèse de $m$ fonction de $u$ seul, demanderaitque la Terre eût une figure donnée.