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9. Supposons maintenant, en général, que tous les méridiens de la Carte soient des cercles quelconques, ce qui renferme aussi le cas précédent où ces méridiens seraient des lignes droites. Il faudra donc que la valeur de $r$ soit constante dans chaque méridien et ne varie que d’un méridien à l’autre ; donc $r$ et par conséquent ${\frac {d\Omega }{dt}}$ ne pourra être qu’une fonction de $t$ seul donc la différence de ${\frac {d\Omega }{dt}},$ en faisant varier $u$ seul, devra être nulle ; ainsi la condition pour que tous les méridiens soient des cercles sera

${\frac {d^{2}\Omega }{dtdu}}=0.$

Qu’on multiplie cette équation par $dt$ et qu’on l’intègre en faisant varier $t$ seul, on aura

${\frac {d\Omega }{du}}=\mathrm {U} ,$

$\mathrm {U}$ étant une fonctions quelconque de $u$ sans $t$ donc on aura

${\frac {1}{\rho }}=\mathrm {U} \,;$

ce qui fait voir que les paraltèles sont aussi des cercles, puisque leur rayon osculateur étant une fonction de $u$ seul doit demeurer le même dans toute l’étendue de chaque parallèle. On prouvera de la même manière qu’en supposant les parallèles circulaires les méridiens le seront aussi. Et la condition commune à la circularité des uns et des autres sera ${\frac {d^{2}\Omega }{dtdu}}=0.$ Voyons donc quelle doit être la forme des fonctions $f$ et $\operatorname {F}$ pour que cette condition soit remplie.

10. Pour faciliter cette recherche, je prends d’abord deux autres fonctions que je dénote par les caractéristiques $\varphi$ et $\Phi ,$ et que je suppose telles, que

$\varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {f'(z)}}},\quad \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {\operatorname {F} '(z)}}}\,;$