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ou bien (étant indifférent quelle que soit la variable sous les signes des fonctions) on aura plus simplement ces deux-ci

${\frac {\varphi ''(z)}{\varphi (z)}}=k,\quad {\frac {\Phi ''(z)}{\Phi (z)}}=k,$

savoir

${\frac {d^{2}\varphi (z)}{\varphi (z)dz^{2}}}=k,\quad {\frac {d^{2}\Phi (z)}{\Phi (z)dz^{2}}}=k,$

qui sont intégrables par les règles connues.

On aura donc, en intégrant,

$\varphi (z)=\mathrm {M} e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} e^{-z{\sqrt {k}}},\quad \Phi (z)=\mathrm {P} e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} e^{-z{\sqrt {k}}},$

$\mathrm {M,N,P,Q}$ étant des coefficients quelconques positifs ou négatifs, réels ou imaginaires.

Or

$\varphi (z)={\frac {1}{\sqrt {f'(z)}}},\quad \Phi (z)={\frac {1}{\sqrt {\operatorname {F} '(z)}}}\,;$

donc on aura

${\begin{aligned}f'(z)=&{\frac {1}{\left(\mathrm {M} e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} e^{-z{\sqrt {k}}}\right)^{2}}}={\frac {e^{2z{\sqrt {k}}}}{\left(\mathrm {M} e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} \right)^{2}}},\\\operatorname {F} '(z)=&{\frac {1}{\left(\mathrm {P} \,e^{z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} e^{-z{\sqrt {k}}}\right)^{2}}}={\frac {e^{2z{\sqrt {k}}}}{\left(\mathrm {P} e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} \right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

mais

$f'(z)={\frac {df(z)}{dz}},\quad \operatorname {F} '(z)={\frac {d\operatorname {F} (z)}{dz}}\,;$

donc, multipliant les équations précédentes par $dz$ et intégrant, on aura

${\begin{aligned}f(z)=&-{\frac {1}{2\mathrm {M} \left(\mathrm {M} e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {N} \right){\sqrt {k}}}}+\mathrm {G} ,\\\operatorname {F} (z)=&-{\frac {1}{2\mathrm {P} \ \left(\mathrm {P} \ e^{2z{\sqrt {k}}}+\mathrm {Q} \right){\sqrt {k}}}}+\mathrm {H} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {G}$ et $\mathrm {H}$ étant de nouvelles constantes arbitraires.

Ainsi la forme des fonctions arbitraires est déterminée, et mettant à la place de $z,$ dans $f(z),$ $u+t{\sqrt {-1}},$ et dans $\operatorname {F} (z),$ $u-t{\sqrt {-1}},$ on aura ces