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laquelle aura pour intégrale complète

$z=a+bx+f(a,b)y.$

Soit encore l’équation

$z=c+ax+by\quad {\text{et}}\quad c=f(a,b),$

on aura par la différentiation

${\frac {dz}{dx}}=a,\quad {\frac {dz}{dy}}=b\,;$

donc l’équation différentielle sera

$z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}+f\left({\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}\right),$

et son intégrale complète sera

$z=f(a,b)+ax+by.$

40. Nous avons supposé les quantités $a$ et $b$ constantes ; mais si elles étaient variables on parviendrait toujours à la même équation différentielle $\mathrm {Z} =0,$ pourvu que l’on eût également

$dz=pdx+qdy,$

comme dans le cas où ces quantités seraient constantes ; car il est clair que le résultat de l’élimination de $a$ et $b,$ dans les équations :

$\mathrm {V} =0,\quad {\frac {dz}{dx}}-p=0,\quad {\frac {dz}{dy}}=0,$

sera toujours le même, quelles que soient les valeurs de $a$ et $b.$ Or en faisant varier à la fois les quantités $x,y,a$ et $b,$ on aura

$dz=pdx+qdy+rda+sdb\,;$

donc la condition dont il s’agit aura lieu si $rda+sdb=0,$ par consé-