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quent si l’on détermine les quantités $a$ et $b$ en sorte que l’on ait

$rda+sdb=0,$

et qu’on substitue ensuite leurs valeurs dans l’équation finie $\mathrm {V} =0,$ on aura une nouvelle intégrale de l’équation proposée $\mathrm {Z} =0.$

41. La manière la plus simple de satisfaire à l’équation

$rda+sdb=0$

est de supposer séparément

$r=0,\quad s=0,$

ce qui donne deux équations qui serviront à déterminer $a$ et $b.$ Or, en regardant $z$ comme fonction de $a$ et $b,$ il est visible que

$r={\frac {dz}{da}},\quad s={\frac {dz}{db}}\,;$

donc les deux conditions dont il s’agit seront représentées par

${\frac {dz}{da}}=0,\quad {\frac {dz}{db}}=0\,;$

lesquelles étant analogues à la condition ${\frac {dy}{da}}=0$ que nous avons trouvée dans l’Article I pour la détermination des intégrales particulières des équations à deux variables, on pourra regarder aussi les intégrales provenantes de ces conditions comme des intégrales particulières des équations à différences partielles entre trois variables.

42. Prenons par exemple l’équation

$z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}+f\left({\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}\right),$

dont nous avons déjà vu que l’intégrale complète est (39)

$z=f(a,b)+ax+by.$