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laquelle est à une ligne droite inclinée à l’axe des abscisses d’un angle dont la tangente sera

${\frac {d\eta }{d\xi }}=-\operatorname {tang} (g+h)\,;$

en sorte que cet angle sera $180^{\circ }-g-h\,;$ par conséquent cette droite sera perpendiculaire à celle qui renferme tous les centres des méridiens (numéro precédent).

16. Cherchons aussi la valeur de la quantité $m$ qui exprime la proportion, suivant laquelle chaque région de la Terre est augmentée ou diminuée dans la Carte, en gardant néanmoins sa figure naturelle.

Nous avons vu (8) que $m={\frac {1}{q\Omega }}\,;$ ainsi il n’y a qu’à chercher la valeur de la quantité $\Omega .$ Or, si dans l’expression d $\Omega$ du n^o 10 on substitue à la place des fonctions marquées par et leurs valeurs trouvées dans le même numéro, on a

$\Omega =\mathrm {MP} e^{2u{\sqrt {k}}}+\mathrm {NQ} e^{-2u{\sqrt {k}}}+\mathrm {MQ} e^{2t{\sqrt {-k}}}+\mathrm {NP} e^{-2t{\sqrt {-k}}},$

ce qui par les substitutions du n^o 12 se réduit à cette forme

$\Omega =a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\,;$

en sorte qu’on aura

$m={\frac {1}{q\left[a^{2}e^{2cu}+2ab\cos(2ct+g-h)+b^{2}e^{-2cu}\right]}}.$

17. La valeur précédente de $\Omega$ peut fournir une preuve de l’exactitude de nos formules ; car, ayant vu (7) que les rayons $r$ et $\rho$ des méridiens et des parallèles sont déterminés, en général, par les formules

${\frac {1}{r}}=-{\frac {d\Omega }{dt}},\quad {\frac {1}{\rho }}=-{\frac {d\Omega }{du}},$

il faudra qu’en substituant pour $\Omega$ sa valeur, il en résulte les mêmes valeurs de $r$ et $\rho$ que nous avons trouvées plus haut d’après les équations mêmes des cercles qui représentent les méridiens et les parallèles. Or