Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/670

gion de la Terre est augmentée ou diminuée sur la Carte, en supposant le rayon de l’équateur égal à $1.$

22. En considérant les formules précédentes, il est aisé de voir qu’il en naîtra différentes espèces de projections géographiques, suivant qu’on donnera des valeurs différentes à la constante $c,$ que nous nommerions pour cela l’exposant de la projection.

Et d’abord, si l’on fait $c=0,$ on aura

${\frac {1}{r}}=0,\quad {\frac {1}{\rho }}=0\,;$

par conséquent

$r=\infty ,\quad \rho =\infty \,;$

ce qui donne des lignes droites pour les méridiens et les parallèles ; c’est le cas des Cartes réduites.

Pour déterminer donc dans ce cas la position des différents méridiens et des différents parallèles, on fera $c=0$ dans les expressions de $x$ et $y,$ ou plutôt on y supposera seulement $c$ infiniment petit, en observant que l’on a

$\theta ^{c}=1+c\log \theta ,\quad \theta ^{-c}=1-c\log \theta \,;$

et l’on trouvera

$x={\frac {a-b}{2abc(a+b)}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{2ab(a+b)^{2}}}\log \theta ,\quad y={\frac {t-g}{(a+b)^{2}}}\,;$

or $c$ étant nul, pour que $x$ ne soit pas infini, il faut que $a-b$ soit nul en même temps que $c\,;$ donc

$a-b=ch,\quad b=a-ch,$

$h$ étant une constante quelconque ; substituant cette valeur et faisant $c=0,$ on aura donc

$x={\frac {h}{4a^{3}}}+{\frac {\log \theta }{4a^{2}}},\quad y={\frac {t-g}{4a^{2}}},$

ou plus simplement

$x=\mathrm {A+B} \log \theta ,\quad y=\mathrm {C+B} t,$

$\mathrm {A,B,C}$ étant des constantes arbitraires.