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l’angle $90^{\circ }-g-h$ soit droit, ce qui donne $g+h=0,$ et par conséquent $h=-g\,;$ 2^o que l’on ait, en général, $\mathrm {X} =0,$ ce qui donne $\mathrm {A} ={\frac {1}{4abc}}\,;$ 3^o que l’on ait aussi, en général, $\eta =0,$ ce qui donnera $\mathrm {B} =0.$ Si donc on fait ces substitutions, et qu’on mette à la place de $u$ et de $q$ leurs valeurs en $z$ du n^o 19 ; que de plus on change $a$ en ${\frac {a}{k^{c}}},$ $b$ en $bk^{c},$ $2c$ en $c,$ et $2g$ en $-cg,$ ce qui est évidemment permis, puisque $a,b,c,g,k$ sont des constantes arbitraires ; et qu’on fasse, pour abréger,

$\theta =\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}=\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {\varepsilon }{2}},$

on aura

${\begin{aligned}x=&{\frac {a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}}{2abc\left[a^{2}\theta ^{2}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}\right]}},\\y=&{\frac {\sin \left[c(t-g)\right]}{c\left[a^{2}\theta ^{2}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}\right]}},\\{\frac {1}{r}}=&2abc\sin \left[c(t-g)\right],\quad \mathrm {Y} =-{\frac {\cot \left[c(t-g)\right]}{2abc}},\\{\frac {1}{\rho }}=&c\left(a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}\right),\quad \xi ={\frac {a^{2}\theta ^{c}+b^{2}\theta ^{-c}}{2abc\left(a^{2}\theta ^{c}-b^{2}\theta ^{-c}\right)}},\\m=&{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}{\sin z\left[a^{2}\theta ^{2}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}\right]}}\end{aligned}}$

Dans ces formules $t$ est la longitude d’un méridien quelconque, $z$ le complément de la latitude d’un parallèle quelconque sur la surface de la Terre, $\varepsilon$ l’excentricité des méridiens de la Terre ; $a,b,c,g$ sont quatre constantes arbitraires ; $x,y$ sont l’abscisse et l’ordonnée qui déterminent sur la Carte la position d’un lieu quelconque dont la longitude est $t$ et dont le complément de la latitude est $z\,;$ $r$ est le rayon du cercle qui représente un méridien quelconque et dont le centre doit être placé dans l’axe des ordonnées à la distance $\mathrm {Y}$ de celui des abscisses ; $\rho$ est le rayon du cercle qui représente un parallèle quelconque, et dont le centre doit être placé dans l’axe des abscisses à la distance $\xi$ de celui des ordonnées ; enfin $1:m$ est la proportion suivant laquelle la grandeur de chaque ré-