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et de là

${\frac {1}{\lambda \mu }}=abc^{2}{\Bigl [}a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos[c(t-g)]+b^{2}\theta ^{-c}{\Bigr ]}.$

Qu’on substitue dans cette dernière équation pour $\theta ^{c}$ sa valeur ${\frac {b\lambda }{a\mu }}$ tirée de la première, on aura

${\frac {1}{\lambda \mu }}=a^{2}b^{2}c^{2}\left[{\frac {\lambda }{\mu }}+2\cos[c(t-g)]+{\frac {\mu }{\lambda }}\right],$

savoir, en multipliant par $\lambda \mu$ et substituant pour $abc$ sa valeur ${\frac {1}{2\delta }},$

$4\delta ^{2}=\lambda ^{2}+2\lambda \mu \cos \left[c(t-g)\right]+\mu ^{2}.$

Or, en considérant le triangle $\mathrm {BRA} ,$ dans lequel

$\mathrm {BA} =2\delta ,\quad \mathrm {BR} =\lambda ,\quad \mathrm {AR} =\mu ,$

on a, comme on sait,

$(2\delta )^{2}=\lambda ^{2}-2\lambda \mu \cos \mathrm {BRA} +\mu ^{2}.$

Donc, en comparant cette équation à la précédente, on aura

$-\cos \mathrm {BRA} =cos\left[c(t-g)\right],$

et par conséquent

$\mathrm {BRA} =180^{\circ }-c(t-g).$

De sorte qu’on aura $t-g,$ c’est-à-dire la différence de longitude des méridiens $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BRA} ,$ égale à ${\frac {180^{\circ }-\mathrm {BRA} }{c}}.$

À l’égard de la première équation

${\frac {\lambda }{\mu }}={\frac {a\theta ^{c}}{b}},$

si l’on y substitue pour $\theta$ et pour ${\frac {b}{a}}$ leurs valeurs $\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}$ et $\left(\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)^{c},$ et qu’on en tire la racine $c$^ième, elle donnera

${\frac {\operatorname {tang} {\cfrac {\zeta }{2}}}{\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}}=\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{\frac {1}{c}}=\left(\mathrm {\frac {RB}{RA}} \right)^{\frac {1}{c}},$