Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/686

suit que les lieux placés sous ce méridien sont ceux dont la grandeur est la moins altérée en longitude par la projection ; reste donc à chercher la latitude du lieu qui sera en même temps sujet à la moindre altération en latitude. Pour cela il n’y a qu’à différentier la valeur de $m,$ en y faisant varier $z$ seul, et faire ensuite la différentielle nulle. Ce calcul n’a aucune difficulté, mais pour le simplifier davantage il sera à propos de faire abstraction de l’excentricité $\varepsilon$ de la Terre, laquelle étant en effet très-petite peut être négligée sans erreur sensible, surtout dans la recherche présente.

36. Nous allons auparavant mettre la valeur de $m$ sous une forme un peu différente et plus commode pour le calcul, en y introduisant à la place des variables $\theta$ et $t$ les distances $\lambda$ et $\mu .$ Pour cela on substituera d’abord à la place de

$a^{2}\theta ^{c}+2ab\cos \left[c(t-g)\right]+b^{2}\theta ^{-c}$

sa valeur trouvée (31) ${\frac {1}{abc^{2}\lambda \mu }},$ ou bien ${\frac {2\delta }{c\lambda \mu }}\,;$ ce qui donnera

$m={\frac {c\lambda \mu {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}z}}}{2\delta \sin z}}.$

Ensuite on aura, par le même numéro,

$\operatorname {tang} {\frac {\zeta }{2}}=\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{\frac {1}{c}}=\operatorname {tang} {\frac {z}{2}}\left({\frac {1+\varepsilon \cos z}{1-\varepsilon \cos z}}\right)^{\frac {\varepsilon }{2}}$ (21) ;

moyennant quoi on pourra éliminer l’angle $z.$

Négligeons les termes affectés du carré $\varepsilon ^{2}$ de l’excentricité des méridiens ; on aura

$m={\frac {c\lambda \mu }{2\delta \sin z}},\quad \operatorname {tang} {\frac {z}{2}}=\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{\frac {1}{c}}\,;$

or, comme on sait,

$\sin z={\frac {2\operatorname {tang} {\cfrac {z}{2}}}{1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {z}{2}}}}\,;$