donc, substituant la valeur précédente, on aura
![{\displaystyle \sin z={\frac {1}{\mu ^{\frac {1}{c}}\lambda ^{-{\frac {1}{c}}}\cot {\cfrac {h}{2}}+\lambda ^{\frac {1}{c}}\mu ^{-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f81c0ec5d03b522b4b7e133ddda8f362c92dcb)
et par conséquent
![{\displaystyle m={\frac {c}{2\delta }}\left(\lambda ^{1+{\frac {1}{c}}}\mu ^{1-{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}+\lambda ^{1-{\frac {1}{c}}}\mu ^{1+{\frac {1}{c}}}\cot {\frac {h}{2}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63a26f3393e8cbc4758123e4501fb9c841f0dad5)
expression générale de la valeur de
pour un point quelconque
de la Carte, laquelle ne dépend que des deux distances
de ce point aux deux pôles.
37. Si l’on fait
pour avoir le cas de la projection stéréographique (29), on aura
![{\displaystyle m={\frac {\lambda ^{2}\operatorname {tang} {\cfrac {h}{2}}+\mu ^{2}\cot {\cfrac {h}{2}}}{2\delta }}={\frac {\lambda ^{2}+\mu ^{2}-\left(\lambda ^{2}-\mu ^{2}\right)\cos h}{2\delta \sin h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4be328081223a5b4e1fb88269f40f21aca5f019)
Or on a (fig. 1, page 672)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{2}=&\mathrm {{\overline {RB}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {BS}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CB-CS}}^{2}} ,\\\mu ^{2}=&\mathrm {{\overline {RA}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {SA}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CA+CS}}^{2}} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3c8df0828d1dfb18ed97cdb73dda18d8b3e8dd1)
donc (à cause de
) on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{2}+\mu ^{2}=&\mathrm {2{\overline {RS}}^{2}+2{\overline {CA}}^{2}+2{\overline {CS}}^{2}} ,\\\lambda ^{2}-\mu ^{2}=&-4\mathrm {CA\times CS} \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6f921d4d44a6fe41fc018203f568fc5fc7b2a5)
de plus on a
![{\displaystyle \mathrm {CA} \cos h=\mathrm {CG} ,\quad \delta \sin h=\mathrm {CA} \sin h=\mathrm {GH} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da49a11a65c80921dc0d8ad55e4bb93a23389ec)
donc
![{\displaystyle m=\mathrm {\frac {{\overline {RS}}^{2}+{\overline {CA}}^{2}+{\overline {CS}}^{2}+2CS\times CG}{GH}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6f99494980ad85e2d5404d7fc29afc275d0dd02)
or
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {CA}}^{2}={\overline {CG}}^{2}+{\overline {GH}}^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c89e0c2ebffa239530882f6b02b7f14245337e6b)
et, joignant les points
par la droite
on a aussi
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {GR}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {SG}}^{2}={\overline {RS}}^{2}+{\overline {CS}}^{2}+2CS\times CG+{\overline {CG}}^{2}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1880d5ebd91812d257fb56e1f32d32772988fa5d)