lesquelles donnent
de sorte que l’intégrale particulière sera
43. Pour rendre plus sensible l’analogie qu’il y a entre les intégrales particulières des équations aux différences partielles et celles des équations différentiellesà deux variables, on remarquera que, si l’on exprime les variables par les coordonnées rectangles d’une surface courbe, l’équation pourra représenter une infinité de surfaces courbes, en donnant aux arbitraires et toutes les valeurs possibles, et chacune de ces différentes surfaces satisfera également à l’équation du premier ordre ensuite on prouvera, par un raisonnement semblable à celui des nos 21 et suivants, que la surface qui touchera toutes celles-ci satisfera aussi à la même équation différentielle enfin on démontrera aisément que, pour avoir l’équation de la surface touchante dont il s’agit, il n’y aura qu’à éliminer et de l’équation au moyen des deux équations
d’où il s’ensuit que cette surface touchante exprimera l’intégrale particulière de l’équation ce qui est conforme à la théorie donnée dans l’Article relativement aux lignes courbes.
44. Pour confirmer cette théorie par un exemple, supposons qu’on demande la surface courbe qui aura cette propriété, qu’en menant d’un point donné sur un quelconque des plans touchants de cette surface une perpendiculaire, elle soit toujours d’une même grandeur donnée.
Il est d’abord visible qu’une sphère décrite autour du point donné avec un rayon égal à la grandeur donnée satisfera à la question ; mais comme
