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les deux équations du numéro précédent, étant multipliées par $n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}},$ deviendront

${\begin{aligned}&\left[c+1-(c-1)n\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}+c-1-(c+1)n=0,\\&\left[c+1-2\left(c^{2}-1\right)n-(c-1)n^{2}\right]\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}-c+1\end{aligned}}$

$-2\left(c^{2}-1\right)n+(c+1)n^{2}=0.$

La première donne

$n={\frac {(c+1)\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}+c-1}{(c-1)\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}+c+1}},$

et, cette valeur étant substituée dans la seconde, elle deviendra, après avoir fait évanouir les fractions,

$\left[(c+1)(c-1)^{2}-(c-1)(c+1)^{2}-2\left(c^{2}-1\right)^{2}\right](1+\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\varpi }{2}}$

$+{\biggl [}2(c-1)(c+1)^{2}-2(c+1)(c-1)^{2}-2\left(c^{2}-1\right)(c-1)^{2}{\biggr .}$

$\left.-2\left(c^{2}-1\right)(c+1)^{2}+(c+1)^{3}-(c-1)^{3}-2\left(c^{2}-1\right)^{2}\right]$

$\times \left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}+\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\varpi }{2}}\right)=0,$

laquelle se réduit à celle-ci

$\left(c^{2}-1\right)\left(1+\operatorname {tang} ^{6}{\frac {\varpi }{2}}\right)+\left(3c^{2}-7\right)\left(\operatorname {tang} ^{2}{\frac {\varpi }{2}}+\operatorname {tang} ^{4}{\frac {\varpi }{2}}\right)=0\,;$

d’où l’on tire

$c^{2}={\frac {1+7\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}+7\operatorname {tang} ^{4}{\cfrac {\varpi }{2}}+\operatorname {tang} ^{6}{\cfrac {\varpi }{2}}}{\left(1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}\right)^{3}}},$

savoir

$c^{2}=1+{\frac {4\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}}{\left(1+\operatorname {tang} ^{2}{\cfrac {\varpi }{2}}\right)^{2}}}=1+4\sin ^{2}{\frac {\varpi }{2}}\cos ^{2}{\frac {\rho }{2}},$

ou plus simplement

$c^{2}=1+\sin ^{2}\varpi \quad {\text{et}}\quad c={\sqrt {1+\sin ^{2}\varpi }}.$