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donc

$n=n^{2}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {h}{2}}\quad {\text{et}}\quad n=\cot ^{2}{\frac {h}{2}}={\frac {1+\cos h}{1-\cos h}}=\mathrm {\frac {GB}{GA}} \,;$

mais $n=\mathrm {\frac {KB}{KA}} \,;$ donc le point $\mathrm {K}$ tombe en $\mathrm {G} ,$ ce qui s’accorde avec ce que nous avons vu plus haut (37).

Or, par l’expression générale de $m$ donnée dans ce numéro, il est aisé de voir que la valeur de $m$ pour les lieux placés sur l’axe $\mathrm {BA}$ à une distance quelconque $\beta$ du point $\mathrm {G}$ sera

$\mathrm {\frac {{\overline {GH}}^{2}+\beta ^{2}}{GH}} \,;$

d’où il s’ensuit que, quelque valeur que puisse avoir la quantité $\mathrm {GH} ,$ jamais la seconde dimension $\beta$ de ne pourra disparaître de la valeur de $m,$ à moins de supposer $\mathrm {GH} =\infty ,$ ce qui serait absurde, puisqu’on aurait alors aussi $m=\infty .$ Donc elle ne disparaîtra pas non plus dans le cas du n^o  39, lorsque la valeur de $\varpi$ sera telle que $c=1,$ ce qui arrive en faisant $\sin \varpi =0,$ et par conséquent $\varpi =0$ ou $=180^{\circ },$ c’est-à-dire quand l’un ou l’autre pôle doit occuper le milieu de la Carte, auquel cas on aurait la projection stéréographique polaire ; c’est aussi de quoi l’on peut se convaincre par les formules mêmes des n^os 38, 39.

En effet si l’on suppose, ce qui revient au même, $\sin \varpi$ infiniment petit et égal à $i,$ on aura

$c=1+{\frac {i^{2}}{2}},\quad \cos \varpi =1-{\frac {i^{2}}{2}},$

donc

$n={\frac {i^{2}}{2}},\quad \operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \varpi }{1+\cos \varpi }}}={\frac {i}{2}},$

donc ${\biggl (}{\biggr .}$à cause de $\left.\operatorname {tang} {\frac {\varpi }{2}}=n^{\frac {1}{c}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}\right)$ on aura

$\operatorname {tang} {\frac {h}{2}}={\frac {1}{i}},\quad \cot {\frac {h}{2}}=i.$

Or

${\frac {\lambda }{\mu }}=n,\quad \lambda +\mu =2\delta \,;$