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on aura donc

$\lambda =\delta i^{2},\quad \mu =2\delta .$

Substituant ces différentes valeurs dans l’expression générale de $m$ du n^o  38 et négligeant ce qu’on doit négliger à cause de $i$ infiniment petit, on aura

$m=2\delta i-\beta i+{\frac {\beta ^{2}}{2\delta i}},$

où l’on voit que le terme affecté de $\beta$ disparaît en faisant $i=0,$ mais non pas celui qui contient $\beta ^{2}.$ C’est le seul cas où les résultats généraux du n^o  39 soient en défaut ; ce qui vient de ce que l’équation provenant de la destruction du coefficientde $\beta ^{2}$ a été multipliée par la quantité $n^{1+{\frac {1}{c}}}\operatorname {tang} {\frac {h}{2}},$ laquelle dans le cas présent devient ${\frac {i^{3}}{4}}.$ J’ai cru devoir entrer dans ce petit détail pour lever la contradiction apparente qu’on aurait pu remarquer entre les résultats des n^os 37, 39.

42. Supposons qu’il s’agisse de construire une Carte dont le milieu doive être occupé par la ville de Berlin ; on aura donc

$g=31^{\circ }2'{\frac {1}{2}},\quad 90^{\circ }-\varpi =52^{\circ }31'{\frac {1}{2}},$

par conséquent

$\varpi =37^{\circ }28'{\frac {1}{2}}\,;$

de là on trouvera

$c={\sqrt {1+\sin ^{2}\left(37^{\circ }28'{\frac {1}{2}}\right)}}=1{,}1706,$

et

$n={\frac {0{,}3770}{1{,}9642}}=0{,}19194.$

On prendra donc pour l’exposant $c$ de la projection le nombre $1{,}17,$ lequel differe peu, comme on voit, de l’unité ; en sorte que la projection ne s’éloignera pas beaucoup de la projection stéréographique ; ensuite, en supposant que Berlin soit au point $\mathrm {K} ,$ on déterminera les pôles $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A}$ en sorte que $\mathrm {\frac {KB}{KA}} =0,192,$ c’est-à-dire qu’on prendra $\mathrm {KB:KA}$ comme $19$ à $100$ à très-peu près.