Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/704

Cette page a été validée par deux contributeurs.

702

MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

est libre ; mais si le fluide est pressé par une force quelconque donnée, il faut que cette force soit balancée par la même pression $\Pi$ . Ainsi la valeur de la fonction $\Pi$ sera donnée à la surface du fluide, ce qui fournira une équation entre les variables $x,$ $y,$ $z,$ laquelle déterminera la figure de cette surface dans l’état d’équilibre.

7. Supposons maintenant que le fluide animé des mêmes forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ soit en mouvement, et que chaque particule $dm$ ait les vitesses $p,$ $q,$ $r$ fonctions de $x,$ $y,$ $z,$ $t$ (1). Dans l’instant suivant le temps $t$ devient $t+dt,$ et les coordonnées $x,$ $y,$ $z$ de la particule $dm$ deviennent $x+pdt,$ $y+qdt,$ $z+rdt$ à cause du mouvement de cette particule. Donc les variations des quantités $p,$ $q,$ $r$ seront

{\begin{aligned}&\left({\frac {dp}{dt}}+p{\frac {dp}{dx}}+q{\frac {dp}{dy}}+r{\frac {dp}{dz}}\right)dt,\\&\left({\frac {dq}{dt}}+p{\frac {dq}{dx}}+q{\frac {dq}{dy}}+r{\frac {dq}{dz}}\right)dt,\\&\left({\frac {dr}{dt}}+p{\frac {dr}{dx}}+q{\frac {dr}{dy}}+r{\frac {dr}{dz}}\right)dt.\end{aligned}}

Or, par les principes de la Mécanique, ces variations étant divisées par l’élément $dt$ du temps donnent les forces accélératrices capables de les produire, lesquelles doivent être par conséquent équivalentes aux forces $\mathrm {P} ,$ $\mathrm {Q} ,$ $\mathrm {R}$ qui agissent réellement sur le fluide. Donc les premières dirigées en sens contraire doivent faire équilibre à ces dernières ; d’où il s’ensuit que le fluide étant animé dans chaque point par les forces accélératrices

{\begin{aligned}&\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}},\\&\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}},\\&\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}},\end{aligned}}

dirigées suivant les lignes $x,$ $y,$ $z$ dans le sens où ces lignes augmentent, devra être en équilibre de lui-même.