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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

Ainsi, en nommant la pression qui naît de toutes ces forces dans chaque point du fluide, on aura (6)

${\begin{aligned}d\Pi &=\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right)dx\\&+\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right)dy\\&+\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right)dz,\end{aligned}}$

équation qui devra pareillement être intégrable par rapport aux variables $x,$ $y,$ $z,$ le temps $t$ étant regardé comme constant.

C’est la seconde équation fondamentale du mouvement des fluides, et qui peut être nommée équation de la pression.

8. L’intégrabilité de cette équation donne (en regardant $\Pi$ comme une fonction finie de $x,$ $y,$ $z$) ces trois équations partielles

${\begin{aligned}{\frac {d\Pi }{dx}}&=\Delta \left(\mathrm {P} -{\frac {dp}{dt}}-p{\frac {dp}{dx}}-q{\frac {dp}{dy}}-r{\frac {dp}{dz}}\right),\\{\frac {d\Pi }{dy}}&=\Delta \left(\mathrm {Q} -{\frac {dq}{dt}}-p{\frac {dq}{dx}}-q{\frac {dq}{dy}}-r{\frac {dq}{dz}}\right),\\{\frac {d\Pi }{dz}}&=\Delta \left(\mathrm {R} -{\frac {dr}{dt}}-p{\frac {dr}{dx}}-q{\frac {dr}{dy}}-r{\frac {dr}{dz}}\right).\end{aligned}}$

Or dans les fluides compressibles la densité $\Delta$ est toujours donnée par une fonction connue de $\Pi ,$ $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ dépendante de la loi de l’élasticité du fluide et de celle de la chaleur qui est supposée régner à chaque instant dans tous les points de l’espace. Ainsi, combinant les trois équations précédentes avec l’équation générale de la densité (4), on aura quatre équations aux différences partielles entre les quatre inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $\Delta$ et les variables $x,$ $y,$ $z,$ $t,$ lesquelles équations contiendront toute la Théorie du mouvement des fluides compressibles et élastiques.

9. Pour les fluides incompressibles nous avons vu (5) que l’on a deux équations, l’une relative à la loi de la densité, l’autre relative à la condition de l’incompressibilité.