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donc

${\begin{aligned}u={\frac {l}{1+m^{2}+n^{2}}},\quad \rho ^{2}=s^{2}+t^{2}+u^{2}&=\left(1+m^{2}+n^{2}\right)u^{2}\\&={\frac {l^{2}}{1+m^{2}+n^{2}}}\,;\end{aligned}}$

donc

$\rho ={\frac {l}{\sqrt {1+m^{2}+n^{2}}}}\,;$

donc, substituant pour $l,m,n$ les valeurs trouvées ci-dessus, on aura enfin pour l’expression générale de la perpendiculaire $\rho$

$\rho ={\frac {z-x{\cfrac {dz}{dx}}-y{\cfrac {dz}{dy}}}{\sqrt {1+\left({\cfrac {dz}{dx}}\right)^{2}+\left({\cfrac {dz}{dy}}\right)^{2}}}}.$

Supposant donc cette perpendiculaire égale à une constante donnée $h,$ on aura enfin

$z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\cfrac {dz}{dy}}+h{\sqrt {1+\left({\cfrac {dz}{dx}}\right)^{2}+\left({\cfrac {dz}{dy}}\right)^{2}}}$

pour l’équation du Problème.

Cette équation est la même que nous avons déjà traitée plus haut (42), et dont nous avons trouvé que l’intégrale complète est

$z=ax+by+h{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}},$

et que l’intégrale particulière est

$z={\sqrt {h^{2}-x^{2}-y^{2}}}\,;$

ce qui s’accorde avec les conclusions trouvées ci-dessus.

45. Si l’on rapproche la théorie que nous venons de donner sur les intégrales particulières des équations aux différences partielles de celle que nous avons donnée plus haut sur les intégrales particulières des équations différentielles à deux variables, on en pourra déduire une règle analogue à celle des n^os 15 et 24 pour trouver les intégrales particulières