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sans connaître les intégrales complètes ; car on prouvera aisément, par des principes analogues à ceux qu’on a employés dans les endroits cités, que, dans le cas de l’intégrale particulière, les différences des quantités ${\frac {dz}{dy}},\ {\frac {dz}{dx}}$ déduites de l’équation différentielle proposée $\mathrm {Z} =0,$ au moyen d’une nouvelle différentiation, devront rester indéterminées.

Ainsi, si après avoir différentié l’équation $\mathrm {Z} =0,$ et avoir fait dispapaître les fractions on a une équation de la forme

$\mathrm {M} d{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {N} d{\frac {dz}{dy}}+\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy=0,$

$\mathrm {M,N,P,Q,R}$ étant des fonctions connues et entières de $x,y,z,{\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},$ il faudra, pour obtenir l’intégrale particulière de l’équation dont il s’agit, faire séparément les quantités $\mathrm {M,N,P,Q}$ chacune égale à zéro ; ce qui donnera, comme l’on voit, quatre équations, lesquelles étant combinées avec l’équation $\mathrm {Z} =0$ donneront, par l’élimination des deux quantités ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},$ trois équations finales en $x,y,z,$ qui devront avoir lieu en même temps. Par conséquent, si ces équations ont un facteur commun, ce facteur sera l’intégrale particulière cherchée sinon la proposée n’admettra point d’intégrale particulière.

46. Si l’équation $\mathrm {Z} =0$ était telle, que l’on eût par la différentiation

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {B} d{\frac {dz}{dy}},$

alors on aurait l’équation différentielle

$\mathrm {A} d{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {B} d{\frac {dz}{dy}}=0,$

et les conditions de l’intégrale particulière seraient remplies en faisant $\mathrm {A} =0$ et $\mathrm {B} =0\,;$ on n’aurait donc, dans ce cas, que deux équations de condition, lesquelles serviraient a éliminer les deux quantités ${\frac {dz}{dx}},\ {\frac {dz}{dy}}$