Lorsque les vitesses initiales sont produites par une impulsion quelconque sur la surface du fluide, on peut démontrer que
doit être intégrable dans le premier instant. Car il faut que les vitesses que chaque point du fluide reçoit en vertu de l’impulsion donnée à la surface, soient telles, que si l’on détruisait ces vitesses en imprimant en même temps à chaque point du fluide des vitesses égales et en sens contraire, toute la masse du fluide demeurât en repos ou en équilibre. Donc il faudra qu’il y ait équilibre dans cette masse en vertu de l’impulsion appliquée à la surface, et des vitesses ou forces appliquées à chacun des points de son intérieur ; par conséquent, suivant la loi connue de l’équilibre des fluides, les quantités devront être telles, que
soit une différentielle exacte. Ainsi dans ce cas la même quantité devra toujours être une différentielle exacte dans chaque instant du mouvement.
21. On pourrait peut-être douter s’il y a des mouvements possibles dans un fluide, pour lesquels
ne soit pas une différentielle exacte.
Pour lever ce doute par un exemple très-simple, il n’y a qu’à considérer le cas où l’on aurait
étant une constante quelconque. On voit d’abord que dans ce cas
ne sera pas complète, puisqu’elle devient
