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DU MOUVEMENT DES FLUIDES

qui n’est pas intégrable ; cependant la quantité

${\frac {dp}{dt}}dx+{\frac {dq}{dt}}dy+{\frac {dr}{dt}}dz+\alpha \left(qdx-pdy\right)+\beta \left(rdx-pdz\right)+\gamma \left(rdy-qdz\right)$

du n^o  16 est intégrable ; car on aura

${\begin{aligned}{\frac {dp}{dt}}=0,&\quad {\frac {dq}{dt}}=0,\quad {\frac {dr}{dt}}=0,\\\alpha ={\frac {dp}{dy}}-{\frac {dq}{dx}}=2g,&\quad \beta ={\frac {dp}{dz}}-{\frac {dr}{dx}}=0,\quad \gamma ={\frac {dq}{dz}}-{\frac {dr}{dy}}=0\ ;\end{aligned}}$

de sorte que la quantité dont il s’agit sera

$-2g^{2}\left(xdx+ydy\right),$

dont l’intégrale est

$-g^{2}(x^{2}+y^{2}).$

À l’égard de l’équation dépendante de l’incompressibilité du fluide, savoir (5)

${\frac {dp}{dx}}+{\frac {dq}{dy}}+{\frac {dr}{dz}}=0$

elle est aussi satisfaite, puisque

${\frac {dp}{dx}}=0,\quad {\frac {dq}{dy}}=0,\quad {\frac {dr}{dz}}=0.$

Au reste il est visible que la supposition précédente de

$p=gy,\quad q=-gx$

représente le mouvement d’un fluide qui tourne autour de l’axe fixe des coordonnées $z$ avec une vitesse angulaire constante et égale à $g\ ;$ et l’on sait qu’un pareil mouvement peut toujours avoir lieu dans un fluide.

Il s’ensuit de là que dans le calcul des oscillations de la mer en vertu de l’attraction du Soleil et de la Lune, on ne peut pas supposer que la quantité

$pdx+qdy+rdz$

soit intégrable, puisqu’elle ne l’est pas lorsque le fluide est en repos par