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MÉMOIRE SUR LA THÉORIE

Ensuite la valeur de la pression $\Pi$ se réduira à $\Pi '+\Pi ''z$ (33) ; et il faudra négliger dans l’expression de $\Pi '$ les quantités du second ordre et dans celle de $\Pi ''$ les quantités du premier. Ainsi, à cause de

$\cos \xi =0,\quad \cos \eta =0,\quad \cos \zeta =1,$

on aura par les formules du même numéro

$\Pi '=-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2},\quad \Pi ''=g.$

On aura donc (35) pour la surface supérieure du fluide l’équation

$\Pi '+gz=0.$

et ensuite cette équation de condition

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\varphi '}{dx}}{\frac {d\Pi '}{dx}}+{\frac {d\varphi '}{dy}}{\frac {d\Pi '}{dy}}+g\varphi ''-gz\left({\frac {d^{2}\varphi '}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}\varphi '}{dy^{2}}}\right)=0.$

46. L’équation $\Pi '+gz=0$ donne sur-le-champ

$z=-{\frac {\Pi '}{g}}$

pour la figure de la surface supérieure du fluide à chaque instant ; et comme l’équation de condition doit avoir lieu relativement à la même surface, il faudra qu’elle soit vraie en y substituant à $z$ cette même valeur $-{\frac {\Pi '}{g}}.$ Cette équation deviendra donc par là de cette forme

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right)}{dx}}+{\frac {d\left(\Pi '{\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right)}{dy}}+g\varphi ''=0,$

et substituant encore pour $\varphi ''$ sa valeur trouvée ci-dessus, elle se réduira à celle-ci

${\frac {d\Pi '}{dt}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dx}}\right]}{dx}}+{\frac {d\left[\left(\Pi '+g\alpha \right){\cfrac {d\varphi '}{dy}}\right]}{dy}}=0,$

dans laquelle il n’y aura plus qu’à mettre à la place de $\Pi '$ sa valeur

$-{\frac {d\varphi '}{dt}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dx}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {d\varphi '}{dy}}\right)^{2}\ ;$