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En effet, si l’on différentie cette équation, on aura, à cause de

$dz={\frac {dz}{dx}}dx+{\frac {dz}{dy}}dy,$

celle-ci, où je mets, pour plus de simplicité, $p$ et $q$ à la place de ${\frac {dz}{dx}}$ et ${\frac {dz}{dy}},$

$\left[x+{\frac {df(p,q)}{dp}}\right]dp+\left[y+{\frac {df(p,q)}{dq}}\right]dq=0\,;$

ainsi l’on aura pour l’intégrale particulière les deux équations

$x+{\frac {df(p,q)}{dp}}=0,\quad y+{\frac {df(p,q)}{dq}}=0,$

à l’aide desquelles il faudra éliminer les quantités $p$ et $q$ dans la proposée

$z=px+qy+f(p,q).$

Et il est visible qu’on aura de cette manière le même résultat que par la méthode du n^o 42.

Les équations à différences partielles de la forme dont il s’agit répondent, comme l’on voit, à celles qu’on a considérées plus haut (17).

47. Nous avons vu ci-dessus (40) que, pour que l’équation finie $\mathrm {V} =0$ satisfasse à l’équation aux différences partielles du premier ordre $\mathrm {Z} =0,$ sans supposer que les arbitraires $a$ et $b$ soient constantes, il suffit que ces quantités soient telles, que l’on ait la condition

$rda+sdb=0,$

c’est-à-dire, à cause de

$r={\frac {dz}{da}},\quad s={\frac {dz}{db}}$

suivant la notation ordinaire,

${\frac {dz}{da}}da+{\frac {dz}{db}}db=0.$