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dans l’équation $\mathrm {Z} =0\,;$ et l’équation résultante serait toujours l’intégrale particulière de cette même équation $\mathrm {Z} =0.$

Au reste on peut aussi trouver son intégrale complète en remarquant que l’équation

$d\mathrm {Z} =\mathrm {A} d{\frac {dz}{dx}}+\mathrm {B} d{\frac {dz}{dy}}=0$

donne aussi

$d{\frac {dz}{dx}}=0,\quad d{\frac {dz}{dy}}=0,$

d’où

${\frac {dz}{dx}}=a,\quad {\text{et}}\quad z=ax+\mathrm {Y} ,$

$a$ étant une constante et $\mathrm {Y}$ une fonction de $y$ sans $x\,;$ mais, puisqu’on doit avoir en même temps $d{\frac {dz}{dy}}=0,$ il faudra que $d{\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=0,$ donc

${\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}=b,\quad {\text{et}}\quad \mathrm {Y} =by+c,$

$b$ et $c$ étant des constantes ; donc

$z=ax+by+c\,;$

si l’on substitue cette valeur de $z$ dans l’équation différentielle $\mathrm {Z} =0,$ il arrivera nécessairement que les quantités $x$ et $y$ s’en iront et que l’on aura une équation entre les constantes $a,b,c,$ par laquelle il faudra en déterminer une par les deux autres.

Soit donc, en général, $c=f(a,b),$ l’intégrale complète sera alors

$z=ax+by+f(a,b),$

et l’équation différentielles sera, comme on l’a déjà vu (39),

$z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}+f\left({\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}\right)\,;$

c’est la forme générale des équations différentielles qui peuvent avoir la propriété dont il s’agit.