Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/78

faisons $b=\varphi (a),$ on aura

$z=f\left[a,\varphi (a)\right]+ax+\varphi (a)y,$

et faisant varier $a$ seul, on aura, après avoir divisé par $da,$

$f'\left[a,\varphi (a)\right]+x+\varphi '(a)y=0\,;$

et il n’y aura plus qu’à éliminer $a$ au moyen de ces deux équations.

Si l’équation était par exemple

$z=x{\frac {dz}{dx}}+y{\frac {dz}{dy}}+h{\sqrt {1+\left({\frac {dz}{dx}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dy}}\right)^{2}}},$

comme dans le Problème du n^o 44, on aurait

$f(a,b)=h{\sqrt {1+a^{2}+b^{2}}}\,;$

faisant donc $b=\varphi (a),$ on aurait ces deux équations

${\begin{aligned}&z=ax+\varphi (a)y+h{\sqrt {1+a^{2}+\left[\varphi (a)\right]^{2}}},\\&x+\varphi '(a)+h{\frac {a+\varphi (a)\varphi '(a)}{\sqrt {1+a^{2}+\left[\varphi (a)\right]^{2}}}}=0,\end{aligned}}$

d’où il faudrait éliminer $a\,;$ on aurait ainsi la solution générale du Problème dont il s’agit.

Cette élimination est impossible, en général, c’est-à-dire tant que la fonction $\varphi (a)$ est indéterminée ; ainsi nous nous contenterons d’examiner quelques cas particuliers.

Supposons, ce qui est le cas le plus simple,

$\varphi (a)=m+na,$

$m$ et $n$ étant des coefficients constants quelconques, on aura

$\varphi '(a)=n,$