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et les deux équations précédentes deviendront

${\begin{aligned}&z=a(x+ny)+my+h{\sqrt {1+a^{2}+(m+na)^{2}}},\\&x+ny+h{\frac {\left(1+n^{2}\right)a+mn}{\sqrt {1+a^{2}+(m+na)^{2}}}}=0.\end{aligned}}$

Pour chasser $a$ de ces deux équations, je commence par tirer de la seconde la valeur du radical, j’ai

${\sqrt {1+a^{2}+(m+na)^{2}}}=-h{\frac {\left(1+n^{2}\right)a+mn}{x+ny}},$

ce qui, étant substitué dans la première, donne

$z=a\left[x+ny-{\frac {\left(1+n^{2}\right)h^{2}}{x+ny}}\right]+my-{\frac {mnh^{2}}{x+ny}}.$

Maintenant je carre l’équation précédente et je la réduis à celle-ci

$\left(1+n^{2}\right)a^{2}+2mna+{\frac {m^{2}n^{2}h^{2}-\left(1+m^{2}\right)(x+ny)^{2}}{\left(1+n^{2}\right)h^{2}-(x+ny)^{2}}}=0,$

d’où je tire

$a=-{\frac {mn}{1+n^{2}}}+{\frac {\sqrt {1+m^{2}+n^{2}}}{1+n^{2}}}{\frac {x+ny}{\sqrt {\left(1+n^{2}\right)h^{2}-(x+ny)^{2}}}}\,;$

cette valeur étant enfin substituée dans l’équation ci-dessus, on aura celle-ci

$z={\frac {m(y-nx)}{1+n^{2}}}\pm {\frac {\sqrt {1+m^{2}+n^{2}}}{1+n^{2}}}{\sqrt {\left(1+n^{2}\right)h^{2}-(x+ny)^{2}}}.$

Cette équation est celle d’un cylindre droit qui a le rayon de la base égal à $h\,;$ en effet, si l’on change les deux coordonnées rectangles $x,y$ en deux autres aussi rectangles $x',y',$ telles, que

${\frac {x+ny}{\sqrt {1+n^{2}}}}=x',\quad {\frac {y-nx}{\sqrt {1+n^{2}}}}=y',$

on aura

$z={\frac {my'}{\sqrt {1+n^{2}}}}\pm {\frac {\sqrt {1+m^{2}+n^{2}}}{1+n^{2}}}{\sqrt {h^{2}-x'^{2}}},$