Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/82

représentent l’intégrale particulière et l’intégrale générale d’une même équation à différences partielles du premier ordre, touchent dans chaque point une des surfaces exprimées par l’intégrale complète de la même équation, mais avec cette différence que la surface représentée par l’intégrale particulière touche absolument toutes les surfaces possibles que donne l’intégrale complète (43), au lieu que la surface représentée par l’intégrale générale ne touche que celles de ces surfaces qui se rapportent à une certaine espèce dépendante du rapport qu’on établit entre les deux quantités $a$ et $b,$ qui sont les constantes arbitraires de l’intégrale complète ; c’est de quoi on peut se convaincre, en général, par les principes de la méthode du n^o 48, et dont l’Exemple précédent fournit des preuves particulières, puisqu’il est visible que les cylindres et les cônes, que nous avons déduits de l’intégrale générale, sont touchés partout par desplans exprimés par l’intégrale complète.

50. Soit l’équation

$f\left({\frac {dz}{dx}},x\right)=\mathrm {F} \left({\frac {dz}{dy}},y\right),$

les caractéristiques $f$ et $\mathrm {F}$ dénotant des fonctions quelconques données de deux quantités.

Je suppose

$f\left({\frac {dz}{dx}},x\right)=a,$

$a$ étant une constantes ; je tire de cette équation la valeur de ${\frac {dz}{dx}},$ qui sera exprimée en $x$ et $a\,;$ et après avoir multiplié par $dx$ j’intègre en faisant varier $x$ seul ; j’aurai

$z=\mathrm {X} +\Psi ,$

$\mathrm {X}$ étant une fonction connue de $x$ où entrera aussi la constante $a,$ et $\Psi$ une fonction quelconque indéterminée de $y\,;$ j’aurai ensuite

$\mathrm {F} \left({\frac {dz}{dy}},y\right)=a,$