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et j’en tirerai de même

$z=\mathrm {Y} +\Xi ,$

$\mathrm {Y}$ étant une fonction connue de $y$ où entrera aussi $a$ comme constante, et $\Xi$ une fonction quelconque de $x\,;$ donc, puisque ces deux valeurs de $z$ doivent être identiques, il faudra que

$\Psi =\mathrm {Y} \quad {\text{et}}\quad \Xi =\mathrm {X} \,;$

par conséquent la valeur de $z$ sera $\mathrm {X+Y} ,$ et il est visible qu’on peut ajouter à cette valeur une constante quelconque, puisque dans l’équation différentielle la quantité finie $z$ ne se trouve pas.

On aura donc

$z=\mathrm {X+Y} +b,$

intégrale complète de la proposée, puisqu’elle renferme deux constantes arbitraires $a$ et $b.$

Pour en tirer l’intégrale générale, on fera $b=\varphi (a),$ ensuite on différentiera en faisant varier $a$ seul ; on aura ainsi les deux équations

$z=\mathrm {X+Y} +\varphi (a),\quad {\frac {d\mathrm {X} }{da}}+{\frac {d\mathrm {Y} }{da}}+\varphi '(a)=0,$

au moyen desquelles on éliminera $a,$ et la résultante sera l’intégrale cherchée.

51. Soit l’équation

$f\left({\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},z\right)=0.$

Je fais

${\frac {dz}{dx}}=\mathrm {Z} ,\quad {\frac {dz}{dy}}=a\mathrm {Z} \,;$

substituant ces valeurs, j’aurai une équation en $z$ et $\mathrm {Z} ,$ d’où je tirerai $\mathrm {Z}$ exprimé par une fonction de $z$ seul dans laquelle $a$ entrera aussi comme constante ; or l’équation

${\frac {dz}{dx}}=\mathrm {Z}$