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membre la quantité ${\frac {dz}{dy}}dy,$ j’ai à cause de

$dz={\frac {dz}{dx}}dx+{\frac {dz}{dy}}dy,$

cette équation-ci

$dz=(\mathrm {V} dx+dy){\frac {dz}{dy}}+\mathrm {Z} dx\,;$

je suppose pour un moment

$\mathrm {V} dx+dy=0,$

j’ai une équation entre deux variables $x$ et $y,$ que j’intègre en $y$ ajoutant la constante arbitraire $\alpha \,;$ je regarde maintenant $\alpha$ comme une fonction de $x$ et $y$ déterminée par cette même équation ; j’aurai par la différentiation

$\mathrm {V} dx+dy=\mathrm {A} d\alpha ,$

$\mathrm {A}$ étant une fonction connue de $x,y$ et $\alpha \,;$ ainsi substituant cette valeur dans l’équation précédente, elle deviendra

$dz=\mathrm {A} {\frac {dz}{dy}}d\alpha +\mathrm {Z} dx.$

Or, si l’on substitue partout dans cette équation à la place de $y$ sa valeur en $x$ et $\alpha ,$ on aura une équation entre les trois variables $x,z,\alpha \,;$ et, supposant $\alpha$ constante, on aura l’équation

$dz=\mathrm {Z} dx$

entre les deux variables $x$ et $z,$ laquelle étant intégrée en y ajoutant une constante arbitraire, qui pourra être une fonction quelconque indéterminée de $\alpha ,$ donnera sur-le-champ l’intégrale générale de la proposée ; car il n’y aura plus qu’à y remettre à la place de $\alpha$ sa valeur en $x$ et $y.$

53. Soit encore l’équation

$x=\mathrm {V} y+\mathrm {Z} ,$