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$\mathrm {V}$ étant une fonction quelconque de ${\frac {dz}{dx}}$ et ${\frac {dz}{dy}},$ et $\mathrm {Z}$ une fonction quelconque de ${\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}},z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}.$

Je fais pour plus de simplicité

${\frac {dz}{dx}}=p,\quad {\frac {dz}{dy}}=q,\quad z-x{\frac {dz}{dx}}-y{\frac {dz}{dy}}=r,$

en sorte que $\mathrm {V}$ soit une fonction quelconque de $p$ et $q,$ et $\mathrm {Z}$ une fonction quelconque de $p,q,r\,;$ je multiplie toute l’équation par $dp$ et j’ajoute aux deux membres la quantité $ydq,$ j’ai

$xdp+ydq=y(\mathrm {V} dp+dq)+\mathrm {Z} dp\,;$

or, puisque

$r=z-xp-yq,$

et que

$dz={\frac {dz}{dx}}dx+{\frac {dz}{dy}}dy=pdx+qdy,$

on aura

$dr=-xdp-ydy\,;$

donc l’équation précédente deviendra

$-dr=y(\mathrm {V} dp+dq)+\mathrm {Z} dp.$

Je suppose

$\mathrm {V} dp+dq=0,$

ce qui fait une équation entre $p$ et $q$ que j’intègre en y ajoutant une constante arbitraire $\alpha \,;$ de sorte que j’ai une équation finie entre $p,q$ et $\alpha ,$ dans laquelle je puis regarder $\alpha$ comme une fonction de $p$ et $q,$ et qui donnera par la différentiation

$\mathrm {V} dp+dq=\mathrm {A} d\alpha ,$

$\mathrm {A}$ étant une fonction connue de $p,q$ et $\alpha \,;$ ainsi l’équation précédente deviendra

$-dr=y\mathrm {A} d\alpha +\mathrm {Z} dp.$