Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/96

et, comme on peut échanger entre elles les racines $m$ et $n,$ on aura aussi cette autre intégrale du premier ordre

${\frac {dz}{dy}}-n{\frac {dz}{dx}}=h+g(x+my),$

$h$ et $g$ étant d’autres constantes arbitraires.

Au moyen de ces deux intégrales du premier ordre on pourra, si l’on veut, trouver l’intégrale complète finie ; car en chassant par exemple ${\frac {dz}{dy}},$ on aura l’équation

$(n-m){\frac {dz}{dx}}=a-h+(b-g)x+(nb-mg)y,$

qui peut être intégrée en faisant varier $x$ seul ; et l’on aura

$(n-m)z=\mathrm {Y} +(a-h)x+(b-g){\frac {x^{2}}{2}}+(nb-mg)xy,$

$\mathrm {Y}$ étant une fonction quelconque de $y.$

Or, si des mêmes équations on chasse ${\frac {dz}{dx}},$ on a

$(n-m){\frac {dz}{dy}}=na-mh+(nb-mg)x+\left(n^{2}b-m^{2}g\right)y,$

et, intégrant par rapport à $y$ seul, on aura

$(n-m)z=\mathrm {X} +(na-mh)y+(nb-mg)xy+\left(n^{2}b-m^{2}g\right){\frac {y^{2}}{2}},$

et, comme ces deux équations doivent être la même chose, il faudra faire

${\begin{aligned}\mathrm {Y} =&c+(na-mh)y+\left(n^{2}b-m^{2}g\right){\frac {y^{2}}{2}},\\\mathrm {X} =&c+(a-h)x+(b-g){\frac {x^{2}}{2}}\,;\end{aligned}}$

$c$ étant une constante arbitraire.