Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 4.djvu/97

Ainsi l’intégrale complète finie de la proposée sera

${\begin{aligned}(n-m)z=c&+(a-h)x+(na-mh)y+(b-g){\frac {x^{2}}{2}}\\&+(nb-mg)xy+(n^{2}b-m^{2}g){\frac {y^{2}}{2}},\end{aligned}}$

où $a,b,c,g,h$ sont les cinq arbitraires.

Au reste il est facile de voir que cette méthode de trouver l’intégrale complète finie d’une équation du second ordre, lorsqu’on connaît deux différentes intégrales complètes du premier ordre de la même équation, est générale et réussira toujours, quelle que soit la forme de ces intégrales complètes ; car en éliminant ${\frac {dz}{dx}}$ on aura toujours une équation où $y$ pourra être traitée comme constante, et en éliminant ${\frac {dz}{dy}}$ on en aura une où $x$ pourra être regardée elle-même comme constante ; et, l’intégration introduisant nécessairement une nouvelle constante arbitraire, on aura dans l’intégrale finie le nombre de cinq arbitraires ; ce qui est le caractère des intégrales complètes (57).

61. Lorsqu’on connaît l’intégrale complète du premier ordre $\mathrm {Z} =0$ d’une équation du second ordre $\mathrm {Z} '=0,$ on en peut déduire sans peine son intégrale particulière.

Car il ne faudra que faire varier dans l’équation $\mathrm {Z} =0$ les deux constantes arbitraires $a$ et $b,$ et supposer ensuite les coefficients des deux différentielles $da$ et $db$ chacun égal à zéro ; on aura ainsi deux équations qui serviront à éliminer les quantités $a$ et $b$ dans l’équation $\mathrm {Z} =0,$ et la résultante sera l’intégrale particulière aux premières différences de la proposée $\mathrm {Z} '=0$.

62. Enfin, si l’on ne connaît aucune des intégrales complètes de l’équation $\mathrm {Z} '=0$ du second ordre, on pourra néanmoins trouver son intégrale particulière aux premières différences.

Il n’y aura pour cela qu’à différentier l’équation proposée, et, ayant