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64. Pour trouver la forme générale des équations qui ont cette propriété, il n’y a qu’à remarquer qu’on peut satisfaire à l’équation $d\mathrm {Z} '=0$ en faisant séparément

$d{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=0,\quad d{\frac {d^{2}z}{dxdy}}=0,\quad d{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=0,$

ce qui donne, en prenant des constantes arbitraires,

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=2c,\quad {\frac {d^{2}z}{dxdy}}=g,\quad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=2h,$

et intégrant de nouveau

${\frac {dz}{dx}}=a+2cx+gy,\quad {\frac {dz}{dy}}=b+2hy+gx,$

et enfin

$z=k+ax+by+cx^{2}+gxy+hy^{2}\,;$

où il se trouve, comme l’on voit, six constantes indéterminées. Or, si l’on substitue ces valeurs dans l’équation $\mathrm {Z} '=0,$ il arrivera nécessairement que les quantités $x$ et $y$ s’en iront d’elles-mêmes, en sorte qu’il ne restera qu’une équation entre les constantes $k,a,b,\ldots ,$ par laquelle il faudra en déterminer une par les autres.

Supposons donc qu’on ait déterminé $k,$ en sorte que l’on ait, en général,

$k=f(a,b,c,g,h),$

alors on aura l’équation finie

$z=ax+by+cx^{2}+gxy+hy^{2}+f(a,b,c,g,h)$

qui, contenant cinq constantes arbitraires, sera l’intégrale complète de la proposée $\mathrm {Z} '=0\,;$ et d’où l’on pourra par conséquent déduire la forme générale de cette même équation, ainsi que nous l’avons déjà fait plus haut (58).

L’équation différentio-différentielle, que nous avons trouvée dans le n^o 58, sera donc la formule générale de touttes les équations qui peuvent