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fait disparaître les fractions pour avoir une équation de la forme

$\mathrm {M} d{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+\mathrm {N} d{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}+\mathrm {P} d{\frac {d^{2}z}{dxdy}}+\mathrm {Q} dx+\mathrm {R} dy=0.$

$\mathrm {M,N,P,Q,R}$ étant des fonctions connues et entières de

$x,\ \ y,\ \ z,\ \ {\frac {dz}{dx}},\ \ {\frac {dz}{dy}},\ \ {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\ \ {\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ \ {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}},$

on supposera séparément égale à zéro chacune des cinq quantités $\mathrm {M,N,P,Q,R} ,$ ce qui donnera cinq équations, lesquelles étant combinées avec l’équation $\mathrm {Z} '=0,$ en sorte que les trois quantités ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dxdy}}$ disparaissent, il résultera trois équations finales en $x,y,z,{\frac {dz}{dx}},{\frac {dz}{dy}}\,;$ il faudra donc que ces trois équations puissent avoir lieu en même temps, c’est-à-dire qu’elles aient un facteur commun, pour que la proposée soit susceptible d’une intégrale particulière ; et ce facteur, s’il y en a un, sera l’intégrale cherchée.

La démonstration de cette méthode et de celle du numéro précédent est facile à déduire des principes exposés dans ce Mémoire, et nous ne croyons pas devoir nous y arrêter.

63. Si l’équation $\mathrm {Z} '=0$ est telle, que

$d\mathrm {Z} '=\mathrm {A} d{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+\mathrm {B} d{\frac {d^{2}z}{dxdy}}+\mathrm {C} d{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}},$

alors on n’aura pour la détermination de l’intégrale particulière que les trois équations de condition

$\mathrm {A=0,\quad B=0,\quad C=0} ,$

lesquelles serviront à éliminer les trois quantités ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\ {\frac {d^{2}z}{dxdy}},\ {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}$ dans l’équation $\mathrm {Z} '=0\,;$ et la résultante sera l’intégrale particulière de cette même équation