nécessairement des fonctions qui aient ces propriétés ; ainsi la théorie peut être aussi en défaut de ce côté.
4. Au reste, on peut trouver directement les conditions précédentes, car, si l’on suppose que l’équation
![{\displaystyle x^{3}+mx^{2}+nx+p=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08f92f15681e25b6c79d3c95da4b82f086d92f8b)
ait un facteur double
il n’y aura qu’à diviser le polynôme
par
on trouvera le quotient
et le reste
![{\displaystyle \left(n-\alpha ^{2}-2m\alpha +4\alpha ^{2}\right)x+p+2\alpha ^{3}-m\alpha ^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd5dd9a5d042d811b3f74e858dc0af5e47140599)
alors il faudra faire séparément
![{\displaystyle {\begin{aligned}3\alpha ^{2}-2m\alpha +n=&0,\\2\alpha ^{3}-m\alpha ^{2}+p=&0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b1631bc21364c7a22afb7d1a4a7f7b8b867be1)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \alpha ={\frac {mn-9p}{2m^{2}-6n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43d267e72702b0fbf699298e466249496a4b5d4f)
Cette valeur, substituée dans la première équation, donne
![{\displaystyle (mn-9p)^{2}+4\left(m^{2}-3n\right)\left(3mp-n^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e547c2b8d0489e03f39f450a60695546595896a)
ce qui est la condition commune aux deux systèmes.
Maintenant, comme le quotient
forme le facteur inégal de l’équation, on fera
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}\alpha =b,&m-2\alpha =a,&\mathrm {pour\ le\ syst{\grave {e}}me} ,&(x+a)(x+b)(x+b),\\\alpha =a,&m-2\alpha =b,&\mathrm {pour\ le\ syst{\grave {e}}me} ,&(x+a)(x+a)(x+b)\,;\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51f52cbb9e296583be99abcaeb296915a8dfe407)
donc, puisque par l’hypothèse
on aura
![{\displaystyle {\begin{array}{llll}m-2\alpha >\alpha ,&{\text{ou}}&m-3\alpha >0&\mathrm {pour\ le\ premier\ syst{\grave {e}}me} ,\\&&m-3\alpha <0&\mathrm {pour\ le\ second\ syst{\grave {e}}me} .\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d490b0a20da319dc99174a0746bd73b53771cb)