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quantité qui devient infinie lorsque $m<1\,;$ donc la valeur $y=b$ sera une valeur singulière si $m>0$ et $<1,$ et une simple valeur particulière si $m=$ ou $>1.$ En effet, l’équation

$y'=\mathrm {K} (y-b)^{m},$

étant divisée par $(y-b)^{m}$ et mise sous la forme

$(y-b)^{-m}y'-\mathrm {K} =0,$

a pour équation primitive

${\frac {(y-b)^{1-m}}{1-m}}-\mathrm {K} x=a,$

$a$ étant la constante arbitraire, d’où l’on tire

$y=b+\left[(m-1)(a+\mathrm {K} x)\right]^{\frac {1}{1-m}}.$

Donc, pour que l’on ait $y=b,$ il faudra que la quantité $(a+\mathrm {K} x)^{\frac {1}{1-m}}$ devienne nulle. Or, si $m>0$ et $<1,$ l’exposant ${\frac {1}{1-m}}$ sera positif ; par conséquent, il sera impossible de donner à $a$ une valeur qui fasse évanouir la quantité dont il s’agit. Mais si $m>1,$ alors, l’exposant ${\frac {1}{1-m}}$ devenant négatif, la quantité $(a+\mathrm {K} x)^{\frac {1}{1-m}}$ deviendra nulle lorsque $a$ sera infini ; car, faisant $a={\frac {1}{c}},$ cette quantité deviendra

${\frac {c^{\frac {1}{m-1}}}{(1+\mathrm {K} cx)^{\frac {1}{m-1}}}},$

laquelle devient zéro lorsque $c=0.$

La même chose a lieu lorsque $m=1\,;$ alors l’équation primitive contient des logarithmes ou des exponentielles, car on a

$y'=\mathrm {K} (y-b)$

et, divisant par $y-b,$

${\frac {y'}{y-b}}-\mathrm {K} =0,$