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premier ordre, ce qui est aisé à vérifier, car elle donne

$y^{2}=b^{2}-x^{2}\quad {\text{et}}\quad yy'=-x,$

valeurs qui, étant substituées dans la quantité

$x+yy'-y'{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}},$

la rendent identiquement nulle. Ce sera donc l’équation primitive singulière.

En effet, suivant la théorie du n^o 61, on aura, dans le cas présent,

$\operatorname {F} (x,y)={\frac {x}{-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}}\quad {\text{et}}\quad p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}\,;$

donc, en prenant les fonctions primes relativement à $y$ seul, on trouvera

$\operatorname {F} '(x,y)={\frac {x}{\left(-y+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}\right){\sqrt {x^{2}+y^{2}-b^{2}}}}},$

quantité qui devient infinie, comme l’on voit, par la supposition de $y=p={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}.$

63. Supposons maintenant que l’on ait l’équation du premier ordre $y'=\operatorname {F} (y)$ et que la fonction $\operatorname {F} (y)$ de $y$ soit telle qu’elle devienne nulle lorsque $y$ est égal à une constante donnée $b\,;$ il est visible que cette valeur de $y$ satisfera à l’équation, car $y=b$ donne aussi $y'=0.$ On demande si cette valeur de $y$ est une valeur particulière comprise dans la valeur complète ou bien si ce n’est qu’une valeur singulière. On prendra la fonction prime de $\operatorname {F} (y),$ et, si $\operatorname {F} '(y)$ devient infini lorsque $y=b,$ la valeur $b$ ne sera qu’une valeur singulière ; sinon, elle sera une valeur particulière.

Soit

$\operatorname {F} (y)=\mathrm {K} (y-b)^{m},$

$m$ étant $>0$ et $\mathrm {K}$ une constante ; on aura

$\operatorname {F} '(y)=m\mathrm {K} (y-b)^{m-1},$