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Je fais le premier membre égal à $p',$ $p'$ étant la fonction prime de $p,$ et je prends l’équation primitive ; j’ai

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}+{\frac {m}{n}}x^{m+1}+{\frac {m(m+1)}{n(n+1)}}x^{m+2}+\ldots .$

Je n’ajoute point de constante arbitraire ici, parce qu’elle peut être censée renfermée dans $p.$

Maintenant, en comparant cette nouvelle série avec la proposée, qu’on a supposée égale à $y,$ il est visible qu’on aura l’équation

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}y\,;$

prenant les fonctions primes, et substituant pour $p'$ sa valeur $y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2},$ on aura cette équation du premier ordre linéaire en $y$

$(n-1)x^{m-2}+y'x^{m}+mx^{m-1}y=y'x^{m-1}+(n-1)yx^{m-2},$

laquelle se réduit à cette forme

$y'+{\frac {n-1-mx}{x(1-x)}}y={\frac {n-1}{x(1-x)}}.$

Cette équation étant susceptible de la méthode du n^o 55, on pourra donc trouver la valeur $y$ en $x,$ qui sera, par conséquent, la somme de la série proposée ; mais cette valeur devra contenir une constante arbitraire, qu’on déterminera de manière que $y$ soit égal à $1$ lorsque $x=0,$ comme il résulte de la série donnée.

Si la série n’avait contenu que des facteurs simples, comme

$1+{\frac {m}{n}}x+{\frac {m+1}{n+1}}x^{2}+{\frac {m+2}{n+2}}x^{3}+\ldots ,$

on eût trouvé, par les mêmes opérations,

$p={\frac {n-1}{m-1}}x^{m-1}+x^{m}+x^{m+1}+x^{m+2}+\ldots .$